2.1 인장 실험

본 연구에서는 두께 2 mm의 AA6061-T6 판재를 사용하였다. 압연 방향에 대해 각각 0도, 45도 및 90도 떨어진 방향을 인장축과 나란히 놓고 제작된 ASTM E8 규격(그림 1(a))의 일축 인장 시편을 비롯하여 노치 인장(그림 1(b)) 및 평면 변형 인장(그림 1(c)) 시편을 사용하여 인장 실험을 수행하였다. 이때 서로 다른 세 인장 시편의 게이지 길이를 고려하여 변형 속도가 10^-3/s에서 크게 벗어나지 않도록 크로스헤드(crosshead)의 변위 속도를 적절한 값으로 부과할 필요가 있다. 이를 위해 일축, 노치, 평면 변형 인장 시험을 각각 3 mm/min, 0.6 mm/min, 0.3 mm/min의 일정한 변위 속도로 제어하였으며, 시편이 파괴될 때까지 변형을 가하였다. 언급된 모든 인장 실험을 각 세 방향 시편에 대해 각기 세 번 반복하였다. 시편의 변형을 측정하기 위해 DIC 기법을 활용하였고, GOM 사의 아라미스(ARAMIS) 2D 모노(mono) 카메라 시스템을 사용하였다.

2.2 전자후방산란회절 (EBSD) 분석

AA6061-T6 시편의 TD면(transverse direction)을 대상으로 전자후방산란회절(electron back-scattered diffraction, 이하 EBSD) 분석을 진행했다(그림 2의 좌표축 참고) 10 mm×10 mm×2 mm 크기의 AA6061-T6 시편을 표1에 따라 준비하였다. EBSD 측정 스텝 사이즈를 1.2 μm로 설정하여 분석에 3.8 시간이 소요되었으며, EBSD 실험 결과를 매틀랩(Matlab) 툴박스인 MTEX[²⁹] 패키지를 활용하여 분석하여 방위 분포를 추출하였다.

두께 방향으로 존재 가능한 집합조직의 불균일성을 판단하기위해 그림 2와 같이 EBSD 데이터 추출 영역을 세 구간으로 나누어 (a)상부, (b)중부, (c)하부로 지칭하겠다. 각 세 영역에서 분석한 방위 분포를 토대로 6000개의 배향을 가진 이산 방위(discrete orientation)로 이루어진 통계적 앙상블을 추출하였고, 이를 그림 3에 (111), (200), (220) 극점도로 나타냈다. 추가로 전체 영역에서 고르게 얻은 방위 분포에 해당하는 극점도를 그림 3(d)열에 보였다. 본 논문에는 실지 않았으나, ND면 표면에 X-ray 회절 실험을 통해 얻은 극점도와 그림 3 결과를 정성적으로 비교하였을 때 뚜렷한 차이가 보이지 않았으며, 두 실험에서 얻은 방위 분포 모두 그림 4에 나타난 강한 큐브(cube) 집합조직이 공통적으로 관찰되는 것을 확인하였다 [³⁰].

3.1 ΔEVPSC 모델

본 연구에서는 ΔEVPSC 모델을 사용하여 인장 실험에서 얻은 DIC 변형률 장 계산에 해당하는 응력 장 변화를 계산하였다. ΔEVPSC 모델에 대한 상세한 설명은 참고 문헌으로 대신하고[²⁴,²⁵], 본문에는 본 논문의 결과와 밀접한 관계를 가진 내용을 간략히 소개한다.

단결정내의 변형률 속도는 다음과 같이 탄성( ε ˙ e l )과 점소 성 변형률( ε ˙ v p )의 합으로 표현된다.

점소성 변형률은 아래의 비선형 점소성 구성 방정식으로 표현된다.

σ, m^s, τ^s 그리고 γ ˙ 0 은 응력텐서, 슈미드 텐서, 임계분해전단응력(CRSS) 그리고 전단 속도 정규화 계수이다. 12개의 {111}〈 1 ¯ 10〉 의 슬립계의 변형률 경화는 아래의 보세 (Voce) 모델을 사용하여 모사하였다.

위 식에서 τ₀, τ₁, θ₀ 그리고 θ₁은 보세 경화 모델 경화 매개변수로써 유동 응력 선도와 비교하여 교정하였으며, Γ은 각 결정립에 축적된 전단 변형률이다. 다결정 구성 방정식은 다음과 같이 표현되며

ε ˙ ¯ ,   M ¯ , △ σ ¯ ,   ε ˙ ¯ 0 는 각각 다결정의 변형률 속도 텐서, 컴플라이스 텐서, 응력 증분 텐서, 그리고 역계산된 변형률 속도 텐서를 의미한다. M ¯ 와 ε ˙ ¯ 0 는 집합조직과 탄성계수 및 슬립계와 경화 매개변수에 대한 내재적 함수로 표현되며, 그 수치적 계산 방법은 참고 문헌[²⁴]으로 대신한다.

ΔEVPSC 모델의 유한요소 용 사용자재료 서브루틴(UMAT) 개발 과정은 참고 문헌[²⁵]에 상세히 설명되어 있으며, 본 연구에서는 이를 활용해 3.4장에서 다루는 유한요소 시뮬레이션을 수행하였다.

3.2 변형률장과 모델 경계조건

앞서 2.1장에 언급하였듯 인장 실험에 DIC 기법을 활용하여 시편 표면의 변위장 변화를 측정하였다. 모너럴 카메라 시스템을 사용하여 재료 표면의 변화를 측정하였기 때문에 측정된 데이터는 평면 변위장으로 제한된다. 이에 따라 해석 가능한 변형 구배 텐서(deformation gradient tensor) F 또한 F₁₁, F₁₂, F₂₁, F₂₂성분 값으로 제한된다. 이때 체적 변화와 F의 사이는 다음과 같이 표현된다.

위에서 dV와 dv는 각각 증분 변형 전후의 체적 요소이며, 비압축성(incompressibility) 가정에 따라 시편의 det(F)=1로 표현될 수 있다. 두께 방향 전단 성분 F₁₃, F₂₃, F₃₁, F₃₂을 무시한다면 다음의 관계로 전개되며,

따라서 F₃₃=1/(F₁₁F₂₂-F₁₂F₂₂)를 활용해 F₃₃ 성분을 평면 변형장(F₁₁F₁₂, F₂₁F₂₂)으로부터 도출할 수 있다. 이때 DIC 기법으로 측정된 구배 텐서는 노이즈를 포함해 이를 감소해야 할 필요가 있어, SciPy 패키지[³¹]에 포함된 사비츠키-골레이(Savitzky-Golay filter)[³²] 방법을 사용하였다. 측정 노이즈가 영향은 본 연구의 주 결과인 응력 성분이 영향을 줄 수 있으나, 그 정도가 무시할 정도로 낮다 [²⁸]. 이하 따로 언급하지 않는 한, 본 연구에서는 평활화(smoothing)된 구배 텐서에 따른다 앞서 서술된 과정을 통해 얻은 변형 구배 텐서는 극분해 (polar decomposition)를 통해 다음과 같이 회전(R) 및 스 트레치(U) 텐서로 나뉠 수 있다.

앞서 서술된 과정을 통해 얻은 변형 구배 텐서는 극분해(polar decomposition)를 통해 다음과 같이 회전(R) 및 스트레치(U) 텐서로 나뉠 수 있다.

극분해는 수치해석적으로 결정되었고, 그 과정은 참고 문헌[²⁸]에 기술된 방법을 따랐다. 그 결과 변형률 속도 텐서를 구할 수 있으며, 이를 식 4에 대입하고 평면 응력 조건(plane stress condition)을 사용하여 응력 텐서 성분 σ₁₁, σ₁₂, σ₂₂을 얻을 수 있다. 얻어진 응력 상태를 바탕으로 삼축성을 구할 수 있으며, 이를 위해 von Mises 유효 응력을 사용하였다.

3.3 재료 물성치 교정

그림 5에 보정된 경화 매개 변수와 단결정 탄성 계수값을 사용한 모델 결과를 실험치와 비교하여 나타냈다. 앞서 그림 1(a)에 보인 일축 인장 시험편으로부터 얻은 응력-변형률 선도를 바탕으로 AA6061-T6의 단결정 탄성 계수 및 보세 경화 매개 변수(τ₀, τ₁, θ₀, θ₁)를 교정하였다(표 2). 참고 문헌[³³]에 보고된 단결정 탄성계수가 비교적 낮은 영률값으로 이어져 본 연구에서는 1.15 배 곱한 보정 값을 사용하였다(표3). 계산된 결과는 실험 결과와 동일한 81.6 GPa의 영률로 나타났다(그림 5(b)).

그림 6(a)에서 일축 인장 유동 응력 반응이 인장 방향(RD, TD, DD)에 무관하게 일정하게 나타나는 것을 보였다. 다만 변형률 속도에 따라 유동 응력 반응의 차이가 보였으며, 변형률 속도가 증가함에 따라 응력 반응이 미미하지만 낮아지는 경향을 보인다. 이와 같은 음의 변형률 속도 민감도(negative rate-sensitivity)는 식 2로 표현된 단결정 구성 모델에 의하여 정확히 모사될 수 없다. 그러나 그림 6(b)에 보였듯, n값(20 혹은 120)에 따라 명확히 달라지는 속도 민감도의 영향을 살펴볼 수 있으며, 120에 이르는 n값으로 인해 나타나는 계산된 속도 민감도는 매우 낮다. 구체적으로 변형률 속도 0.01/s과 0.0001/s 사이에서의 유동 응력 차이는 변형률 5%가 발생했을 때를 기준으로 12.0 MPa에 해당하며, 이는 약 0.036%의 차이이다. 이론적으로 120보다 큰 n값을 부과할 수 있으나, 단결정 구성 모델에서의 비선형성이 덩달아 높아지며, 따라서 수치 해석에서의 안정성이 낮아지고 발산하는 현상이 보인다 [³⁴]. 본 연구에서는 속도 민감도의 차이를 최대한 낮추면서도 수치안정성이 유지되도록 n값을 120으로 한정하여 살펴보았으며, 구체적인 n값의 영향을 파악하기 위한 후속 연구에서는 그림 6(a)에 보인 것과 같은 음의 속도 민감도를 고려해야 하겠다.

3.4 유한요소 인터페이스

앞서 그림 1에 보인 인장 시험 조건을 유한요소법으로 해석하였다. 유한요소 해석에 사용되는 물리량에는 내재적 단위가 없으나, mm-SI 단위계를 일관적으로 부여하여 해석하였다. 이에 따라 본문의 결과는 시간과 길이는 각각 mm와 초(second) 단위로 해석되어야 하며, 응력은 MPa, 그리고 힘은 뉴튼(Newton) 단위로 표현된다. 모든 시험편에 대칭성을 부과하지 않은 형태를 고려하였고(그림 7), 쉘요소 S4R 타입을 사용하였다. 경계 조건은 실제 실험과 유사한 형태로 모사하기 위해 시편의 한쪽 변의 변위를 구속하였고, 2.1장에 언급된 크로스헤드의 변위 속도(일축, 노치, 평면 변형 인장 순으로 각각 3 mm/min, 0.6 mm/min, 0.3 mm/min)를 동일하게 부과하였다. 유한요소 해석 상에서 동일한 최종 변위를 부과하기 위해 시뮬레이션 상의 해석 시간(step time)을 실제 실험과 같이 지정하였다. 실험 하중치와의 비교를 위해 임의의 한 기준점(reference point) 을 지정하여 그립부의 노드와 변위를 연동하였다. 요소 수의 경우 일축 인장은 144개, 노치 인장은 544개, 그리고 평면 변형 인장은 605개를 사용하였으며, 유한요소의 각 적분점의 거동을 3.1장의 ΔEVPSC모델로 설명하였다. 이때 각 적분점은 서로 독립적인 다결정을 대표하며, 500개의 결정 이산 방위(discrete orientation) 앙상블을 사용하였다. 그림 7에서 확인할 수 있듯, 앞서 언급한 바와 같이 사용된 유한요소의 개수의 차이로 인해 일축, 노치 및 평면 변형 인장에서 쓰인 총 이산 방위는 72,000개, 272,200개, 그리고 302,500개로 구분된다. 응력 삼축성은 사용자재료 서브루틴 내에서 계산되며, 사용자 변수장 서브루틴(UVARM)을 활용하여 추출하였다. 다결정 모델의 많은 상태 변수를 효율적으로 입력하기 위해, 그 초기값은 사용자 초기 상태 변수 서브루틴(SDVINI)을 사용해 정의하였다.

4.1 집합조직과 R값에서의 이방성

그림 3에 보이듯, 두께 위치에 상관없이 큐브 집합조직이 나타나는 것을 알 수 있다. 그러나 정량적 관점에서 보았을 때 큐브 집합조직의 세기가 중심부에서는 낮고 표면 근방에서는(그림 2의 상부 및 하부) 강한 것을 알 수 있다 [³⁰]. 다만, (200) 극점도의 세기(multitude of randomness)의 최대치가 2를 넘지 않고, 그림 4에 확인할 수 있듯 ϕ₂=45° 단면에서의 방위 분포 확률의 세기 또한 3점대로써 비교적 높은 편은 아니다. 따라서, 일축 인장 응력 반응에서 드러나는 이방성은 높지 않다고 판단하였다 [³⁰].

집합조직과 R값의 관계를 보다 명확히 규명하고자, 시뮬레이션 결과로부터 얻은 R값과 실험값을 비교하여 그림 8에 나타냈다. R값은 아래 식 8과 같이 폭 방향 및 두께 방향 변형률 속도(각각 ε ˙ ¯ width 및 ε ˙ ¯ t 로 표기)를 사용하여 정의하였다.

그림 3의 (a), (b), (c) 및 (d)로 구분된 방위 분포에 해당하는 모델의 예측값들이 각각 그림 8의 (a), (b), (c) 및 (d)에 동일한 실험 값과 비교되어 나타나 있다. 그림 8에 나타난 결과에 따르면, 모든 집합조직 조건에서 1에 근접한 R값이 모델에서 예측되었으며, 이후 인장 변형률이 0.02 이상으로 증가함에 따라 크게 감소하는 경향을 보인다. 초기 1에 근접한 R값은 탄성 영역에서의 반응으로 알루미늄 합금의 낮은 탄성 이방성으로 기인한 것으로 판단된다. 실험결과에서는 계산결과와 같은 수준의 뚜렷한 R값의 변화 경향성은 찾기 어려우며, 불확도 또한 다소 높다. 따라서 소성 변형 거동이 지배하는 0.02 변형률 이상에서 나타나는 R값 경향에 대해 이후 논의를 집중하겠다.

그림 8(a)와 (c)에 따르면, 표면 가까이의 집합조직을 사용한 모델은 5% 이상의 변형률에서 약 0.5~0.7 사이의 R값을 예측했으며, 이는 일축 인장 실험으로부터 취득한 0.5~0.6 사이의 값과 비슷하다. 이에 비해, 중심부의 집합 조직을 사용한 결과는 눈에 띄게 높은 R값 예측치 (0.6~0.9)를 보이며 실험치와 크게 벗어나는 것을 알 수 있다. 각 방위에 따라 다른 실험 R값을 분석하면 TD와 DD 결과가 유사한 반면, RD의 R값이 눈에 띄게 낮은 이방적 거동을 보임을 알 수 있다. 이러한 이방적 거동 (R^RD < R^DD ≈ R^TD)은 중심부 집합조직에서 동일하게 정성적 거동으로 나타나지만, 표면 집합 결과에서는 명확하지 않다. 판재의 TD면을 모두 포함한 EBSD 데이터에서 고르게 취득한 방위 분포를 사용하여(그림 3(d)) R값을 실험결과와 비교하여 그림 8(d)에 나타냈다. 변형률 10%가 발생한 지점을 기준으로 RD는 약 5.32%, DD는 약 13.71%, 그리고 TD의 경우 약 10.58%의 오차값을 가진다. 따라서 평균 약 9.87%의 오차값을 가져 준수한 예측 능력을 보인다고 판단하였다. 특히 그림 8(d)의 결과에서 이방적 거동 (R^RD < R^DD ≈ R^TD) 뿐만 아니라, 정량적 일치도 또한 실험치와 매우 유사하게 나타나 있는 점은 주목해야 한다. 따라서 본 연구에서는 판재의 TD면을 모두 포함한 전체 영역에서의 집합조직을 사용하는 것이 적절하다고 판단하였다. 따라서 이후의 결과는 그림 2의 전지역에서 고르게 추출한 방위 분포를 바탕으로 도출되었음을 밝힌다.

그림 9는 각 인장 시뮬레이션의 결과로 얻어진 극점도를 보인다. 각기 다른 인장 실험에 따라 구분되는 집합 조직의 발달이 보이며, 이는 초기 집합조직 (그림 1)과 뚜렷하게 구분된다. 다만, 본 연구에서 수행된 인장 실험 사이에서는 비교적 비슷한 집합조직의 발달이 보인다.

4.2 응력 삼축성

3.1장에 소개된 ΔEVPSC 모델의 독립형(stand-alone) 코드를 활용하여 3.2장에 설명된 방법으로 얻어진 경계조건을 부과할 수 있고, 이를 활용하면 DIC 데이터가 추출된 각 물질점에서의 응력 변화를 계산할 수 있다. 각 물질점의 다결정 방위 분포를 500개의 이산 방위로 대표하였고, 표2와 3의 물성치를 사용하였다. 여러 물질점에서 계산한 응력 삼축성을 모아 파괴 발생 직전에 취득한 디지털 이미지에서 얻은 결과를 그림 10에 나타냈다. 그림 10(a), (b), (c)에 보인 결과는 각각 그림 1에 보인 실험에 해당하며, 인장방향이 TD와 일치한 결과만 나타냈다. 이때 응력 삼축성 계산에 필요한 응력장 및 변형률은 시편의 파단 영역의 중심부에서 얻은 데이터들의 평균값을 사용하였으며, 이는 그림 10에서 검은 사각형으로 나타낸 영역 내부에 해당한다. 물질점의 위치를 나타내는 x 및 y 좌표값은 이미지의 픽셀 사이의 상대적 길이를 나타낸다. 2.1장에 기술된 모노 카메라 시스템 사용에 기인하여 물리적 단위(예 mm)로 교정할 수 없는 한계가 있지만, 추후 후속연구에서 스테레오(stereo) 카메라 시스템이 사용되면 쉽게 보완될 수 있다. 그림 10에 보인 응력 분포 결과의 위치는 그림 11에 보인 유한요소 해석 결과에서 붉은 사각형 영역 내부에 해당한다. 그림 10에 의하면 ΔEVPSC 독립형 코드가 (a) 일축 인장, (b)노치 인장 및 (c)평면 인장 실험에서 응력 삼축성 평균값을 각각 0.339, 0.40, 그리고 0.51으로 구분하여 예측하는 것을 알 수 있다.

위 독립형 코드를 활용한 결과와 비교하기 위해, ΔEVPSC-FE 코드를 활용하여 유한요소 해석을 진행했다(그림 11). 슈퍼 컴퓨팅 센터의 누리온(Nurion)을 활용하여 CPU core 40개를 사용하였고, 유한요소 해석 시 일축 인장은 약 2시간, 노치 인장은 약 10시간, 그리고 평면 변형 인장은 약 11시간이 소요되었다. 응력 삼축성 계산에 필요한 데이터는 그림 11에 표시된 검은색 영역 내부에서 취득한 값들의 평균값을 사용하였으며, 그 결과를 아래에 상세히 기술하면 다음과 같다.

일축 인장의 경우 응력 삼축성은 0.33으로써 게이지 내에 거의 균일한 반응을 보였으며, 평균 변형률은 인장이 끝나는 지점에서 0.175로 계산되었다. 노치 인장의 경우 응력 삼축성이 0.47~0.48, 평균 변형률은 0.420였다. 마지막으로 평면 변형 인장의 응력 삼축성은 0.512~0.545 사이값을 가지고 감소하는 경향성을 보였으며, 평균 변형률은 0.612로 계산되었다. 앞서 설명한 독립형 코드 결과와 마찬가지로, 그림 11에서 (a)일축 인장, (b)노치 인장, 그리고 (c)평면 변형 인장 순으로 높은 응력 삼축성 결과가 나타나는 것을 확인하였다.

이때 ΔEVPSC-FE 결과에서 다음과 같은 두 가지 문제점을 찾을 수 있었다.

i) 일축인장의 평균 변형률이 낮게 예측되었다.

ii) 평균 변형 인장의 응력 삼축성이 감소하는 경향성을 보였다.

일축인장의 응력 삼축성은 0.33으로 ΔEVPSC 독립형 결과와 유사한 값을 가졌으나, 평균 변형률은 그보다 절반 낮은 0.175로 계산되었다. 그림 12에서 보이듯, 독립형 코드를 사용한 실험 결과에서는 게이지 중심에 X 형태의 변형 국지화(localization)가 나타나는 것을 확인할 수 있다. 그러나 유한요소 시뮬레이션에 가정한 준정적(quasi-static) 해석은 이러한 변형 국지화를 반영한 해석 결과로 이어지지 않아, 독립형 결과와 비교하였을 때 매우 낮은 평균 변형률로 이어졌다. 차후 연구에서 Explicit/solver를 사용하거나 dynamic implicit 해석을 사용한다면 실험과 더욱 유사한 결과를 보일 것으로 예상한다. 또한 평면 변형 인장의 응력 삼축성이 유사한 결과를 가지는 문헌[³⁵]과 비교하였을 때 증가하는 경향성을 보이는 문헌과 달리, 모델 해석 결과는 반대로 감소하는 경향성을 보인다. 이는 유한 요소 모델링 시에 그물망의 상태가 재료의 거동을 모사할 수 있을 정도로 충분히 미세하지 않았기 때문인 것으로 추측된다. 해당 결정 소성 모델의 경우에도 재료의 이방성에 따라 그물망 의존성이 달라질 수 있으므로[³⁶], 후속 연구에서는 요소 수를 늘리고, 솔리드 (solid) 요소 타입을 고려할 필요가 있다.