2.1 자료

본 연구는 낙동강 수질오염총량관리 단위 유역을 기준으로 수행되기 때문에 월별 수온과 유량 자료를 단위 유역별로 수집하였다. 특히, 40개의 단위 유역 중에서도 상류에 해당하는 17개의 A 지점의 자료를 활용하였는데, 상류는 인간에 의한 영향 또는 간섭이 다른 지점보다 적으며 자연 상태가 비교적 잘 보존되어 있다^{(Ahn, 1997)}. 하천의 수온 자료와 유량 자료는 환경부에서 운영하는 물환경정보시스템(https://water.nier.go.kr/web)의 낙동강 총량 측정망 측정소에서 획득하여 사용하였다. 수질 관측 자료들은 월평균 3회 정도로 관측되었고, 분석 기간은 2005년부터 2024년까지 총 20개년이다. 수온은 섭씨온도(℃)로 관측되었으며, 각 월별로 최고 수온을 추출하여 활용하였다. 유량 자료는 월 최대 수온 값이 나타난 같은 날짜의 유량 값을 대응시켜 정의하였다. 이때 수온 관측일에 유량 값이 존재하지 않을 경우, 해당 월 내 다음으로 수온이 높은 날을 기준으로 유량 값을 추출하였다. 이와 같은 방식으로 동일한 일자에 관측된 수온과 유량 데이터를 사용할 경우, 월별로 하나의 수온–유량 데이터 쌍이 구축된다. 이렇게 동일 시점의 자료를 짝지어 사용한 이유는, 두 변수의 실질적인 상호작용을 정확하게 반영하기 위함이다. 이후에 각 변수의 분포 특성을 고려하여 로그 변환 후, 아래와 같은 식을 통해 0에서 1 사이의 범위로 정규화하였다. 수온과 유량은 대체로 음의 상관성을 보이기 때문에^{(Webb et al., 2003)}, 분석의 용이성을 위하여 수온 자료는 정규화, 유량 자료는 역 정규화 과정을 거쳐서 양의 상관성을 갖도록 변형한 후 분석에 활용하였다.

여기서 $w_{i,j}$는 $j$월의 $i$년도 수온 관측값, $q_{i,j}$는 $j$월의 $i$년도 유량 관측값을 의미한다. $w_j^m$, $w_j^M$는 각각 $j$월의 수온 최솟값과 최댓값, $q_j^m$, $q_j^M$는 각각 $j$월의 유량 최솟값과 최댓값이다. 또한 $x_{i,j}$는 수온 관측값($w_{i,j}$)을 0에서 1 사이의 범위로 정규화한 변수이며, $z_{i,j}$는 유량 관측값($q_{i,j}$)을 0에서 1 사이의 범위로 역 정규화한 변수이다.

스피어만 순위 상관계수는 극값과 이상치에 덜 민감하다는 특징이 있기 때문에^{(Croux and Dehon, 2010)}, 변환된 자료를 대상으로 스피어만 상관계수를 사용하여 상관분석을 진행하였다(Table 1). 분석 결과를 바탕으로, 낙동강 수계 상류의 17개 지점 중 상관성이 가장 높은 지점(Wicheon-A), 중간인 지점(Nakbon-A), 가장 낮은 지점(Miryang-A)으로 총 3개의 지점을 선정하였다(Fig. 1). 또한, 조건부 초과확률 분석을 위한 기준값은 각 변수의 분포 특성을 반영하여 월별 분위수 기반으로 설정하였다. Expert Team on Climate Change Detection and Indices (ETCCDI)에서 제안한 표준화된 극한 지수의 정의^{(WMO, 2009)}에 따라, 상위 90번째 백분위수가 고수온 또는 저유량을 정의하는데 활용되었다^{(Alexander et al., 2006)}. 특히, 유량 자료의 경우 역 정규화 과정을 거쳐 분석에 활용하였으므로, 저유량 조건은 수온과 동일하게 상위 90번째 백분위수로 정의되었다.

Fig. 1. Location of the study sites within the sub-basins of the Nakdong River: NB-A (Nakbon-A), WC-A (Wicheon-A), and MY-A (Miryang-A).

2.2 조건부 초과확률 산정

하천의 수온과 유량의 이변량 결합 누가 확률 분포는 Sklar의 정리에 따라 다음과 같이 나타낼 수 있다^{(Sklar, 1959)}.

여기서 $C(\cdot)$는 Sklar 정리에 따라 두 변수의 의존 구조를 나타내는 Copula 함수이다. $F(x, z)$는 정규화된 하천 수온 $X$와 역 정규화된 하천 유량 $Z$의 결합 누가 확률분포이며, $F_X(x)$과 $F_Z(z)$는 각각 $X$와 $Z$의 한계 누가 확률 분포이다. 이에 따라 정의되는 $u = F_X(x), v = F_Z(z)$는 Copula 함수의 입력변수가 된다. Copula 함수는 Eq. (3)에서 볼 수 있듯이 확률 분포를 연결하여 결합 확률 분포를 산정하기 때문에, 하천의 수온과 유량의 확률 분포를 적합 시키는 과정이 필요하다.

최적의 한계 분포를 선택하기 위해서 Normal 분포, Log-Normal 분포, Gamma 분포, Gumbel 분포, Weibull 분포, Log-Logistic 분포, GEV 분포 등 일반적으로 사용되는 7개의 이론적 확률 분포를 비교하였다. 분포의 매개변수는 최대우도법(Maximum Likelihood Estimation)을 통해 추정하며, Kolmogorov-Smirnov 적합도 검정을 활용하여 최적의 확률 분포를 선택하였다.

Copula는 크게 elliptical copula 군과 Archimedean copula 군으로 구분된다. Elliptical copula 군에는 대표적으로 Gaussian copula와 t copula가 있으며, Archimedean copula 군에는 Clayton, Frank, Gumbel 등이 속한다^{(Nelsen, 2006)}. Gaussian copula는 대칭적 상관 구조를 잘 표현하는 반면, Archimedean copula는 꼬리 의존성을 효과적으로 반영할 수 있는 특징이 있다^{(Nelsen, 2006)}. 본 연구에서는 두 copula 군을 모두 고려하여, elliptical copula에서는 Gaussian copula를, Archimedean copula에서는 Clayton, Frank, Gumbel을 후보군으로 설정하였다. 최적 모형은 Akaike Information Criterion (AIC)을 활용하여 가장 작은 값을 나타내는 copula 함수를 채택하고, 매개변수는 최대우도법을 통해 추정하였다. 이때 우도함수의 구성을 위해 필요한 이변량 경험적 누가 확률 분포는 plotting-position 공식을 적용하여 산정하였다^{(Zhang and Singh, 2006)}.

한계 분포와 최적 copula 함수를 바탕으로, 하천의 유량 조건에 따른 하천 수온의 조건부 초과 확률 분포를 도출해 낼 수 있다. 연속형 확률변수의 경우, 결합분포로부터 조건부 분포를 도출하는 한 가지 단순한 방법은 copula 함수를 한 변수에 대해 편미분하는 것이다^{(Trivedi and Zimmer, 2005)}. 특정 유량($Z = z$) 조건에서 $X \ge x$의 조건부 초과확률은 아래와 같이 표현된다.

식 (4)는 특정 유량 분위수($v$) 조건에서 수온이 특정 값($u$) 이상이 될 조건부 초과확률을 정량적으로 추정하기 위해 사용된다. 특히, 극한 유량 조건에서 수온이 기준 수온을 초과할 확률을 계산함으로써, 저유량-고수온 결합 위험도를 정량적으로 평가할 수 있다. 만약 수온과 유량이 서로 독립이라면, 이 조건부 확률은 단순히 수온의 한계 분포에서의 초과확률로서 0.1로 수렴하므로 copula 기반 접근이 필요하지 않게 된다.

3.1 하천 수온과 유량의 이변량 copula 모형

하천 수온과 유량에 대해 7가지 후보 한계 분포형을 검토한 결과, 각 변수별로 최적의 분포형이 선정되었으며, 다섯 가지 copula 함수 중에서는 두 변수 사이의 의존 구조를 가장 잘 설명하는 copula가 결정되었다. 이를 기반으로 수온-유량의 결합확률분포 모형을 구축하였고, 이를 통해 저유량 조건에서 고수온 발생에 대한 조건부 초과확률을 산정할 수 있었다. Fig. 2는 선정된 분포형과 copula 함수의 결과를 히스토그램으로 정리한 것으로, Fig. 2(a)에서는 대부분의 입력변수에서 GEV 분포가 최적 분포로 선택된 것을 확인할 수 있으며, Fig. 2(b)에서는 Clayton copula가 가장 빈번하게 선택되었고, 그 다음으로는 Frank copula가 선택된 것으로 나타났다.

Fig. 2. Histograms of selection frequencies for marginal distributions and bivariate copula families.

위천-A에서는 월평균 스피어만 상관계수가 다른 두 지점보다 높게 나타났기에 본 연구에서는 위천-A를 대표 지점으로 선정하여 분석 결과를 제시하였다. Fig. 3는 위천-A에서 1월, 4월, 7월, 10월에 대해 AIC 기준으로 선정된 copula 함수를 나타내며, Fig. 4는 각 최적 copula 함수에 대한 Q-Q plot을 도시한 것이다. 분석 결과, Fig. 3에서 확인할 수 있듯이 1월과 10월에는 Frank copula가, 4월과 7월에는 Gumbel copula가 각각 최적 모형으로 선택되었다. 특히 Gumbel copula는 상단 꼬리에 대한 양의 의존성(positive upper-tail dependence)을 가지는 것으로 알려져 있으며^{(Serinaldi, 2015)}, 이러한 특성으로 인해 극단적인 큰 값이 동시에 발생하는 상황을 분석하는 데 적합하다. 이 결과는 월별로 서로 다른 copula 함수가 최적 모형으로 채택됨을 보여주며, 월별 또는 계절별로 구분한 분석이 필요함을 시사한다. 또한 Fig. 4의 Q-Q plot은 이론적 결합분포와 추정된 copula 모형을 비교함으로써 모형의 적합성을 검증하는 근거를 제공한다.

Fig. 3. AIC values of four copulas.

Fig. 4. Q-Q plot using the best-fitted copula.

3.2 저유량 조건에서 고수온 발생 확률 분석

자료 변환을 거친 이후에도, 수온과 역 유량이 음의 상관을 보이는 경우에는 두 변수가 서로 독립이라는 가정하에 해당 월은 단변량 분석을 시행하였다. 이후에 조건부 초과확률로 계산된 다른 지점⋅월의 확률과 구분하기 위해 확률값에 ‘*’를 추가하였다. 본 연구에서는 단변량 분석과 copula 기반 조건부 초과확률 분석 모두 동일한 분위수 기준을 사용하였으며, 고수온 임계값은 수온 분포의 90번째 분위수, 저유량 임계값은 역 정규화된 유량의 90번째 분위수로 설정하였다. 제안된 조건부 초과확률 공식을 통해 우리는 저유량 조건 발생 시 하천의 고수온 발생 확률을 계산할 수 있으며, Table 2에서 지점별, 월별로 계산된 확률값을 확인할 수 있다. 예를 들어, 위천-A 지점에서는 봄(4월)에 고수온 초과확률이 0.22로, 단변량 분석에서의 초과확률인 0.1 대비 2배 이상 높은 것으로 나타났다. 또한 낙본-A 지점의 여름철(6월, 7월, 8월) 월평균 초과확률이 0.19로 약 두 배 정도 높은 것으로 나타났다. 반면, 상관계수가 낮은 밀양-A 지점에서는 독립으로 가정하고 단변량 분석을 시행한 월이 다른 지점보다 많이 있어서 평균적인 확률 증가 폭이 상대적으로 작게 나타났다.

앞선 분석에서 도출된 조건부 초과확률 값을 직관적으로 파악하기 위해 Fig. 5에서 고수온 발생 확률을 시각화하였다. 이를 통해 고수온 발생 확률의 변화를 월별로 비교해 볼 수 있다. 3개 지점 모두 7월의 고수온 초과확률이 다른 월보다 높게 나타났으며, 11월과 12월에는 확률값이 크지 않음을 확인할 수 있다. 이러한 결과는 유량이 수온에 미치는 영향이 지점별, 계절별로 상이하다다는 점을 시사하며, 유량 조건에 따른 수온 반응의 민감도 차이를 고려할 필요가 있음을 보여준다.

Fig. 5. Heatmap of monthly conditional exceedance probabilities of high water temperature under low-flow conditions.

3.3 토론

본 연구는 상관성 비교를 기준으로 3개 지점만을 대표로 선정해 공간적인 일반화에 제약이 있으며, 일부 시기에는 수온과 유량 사이의 음의 상관이 약하거나 상관을 보이지 않아 단변량 분석으로 단순화됨에 따라 copula 기반 조건부 분포 추정에 한계가 있었다. 한편, 연구 분석 대상이 하천의 최상류 유역이기 때문에, 유량 자료를 구축하는 과정에서 댐의 영향을 고려하지 않았다. 또한 농업용 저수지와 인공 저류 구조물의 경우, 유량에 미치는 영향이 상대적으로 크지 않다고 판단하여 본 연구에서는 반영하지 않았다. 그럼에도 불구하고, 저류 구조물의 운영 방식과 시기별 방류 특성에 따라 유출량이 변동하여 유량 자료에 영향을 줄 가능성이 존재한다. 따라서 향후 연구에서는 유역 내 저류 구조물의 운영 현황, 방류량 등의 여러 영향 요인을 함께 고려하여 분석 모형을 정교하게 구성할 필요가 있다.

본 연구에서는 수온과 유량 사이의 상관성을 고려하여 이변량 결합 확률모델을 구성하였다. 다만 하천 수온은 하천의 유량 조건 외에도 기후 요인, 특히 대기의 온도에 의해서도 큰 영향을 받게 된다^{(Morrill et al., 2005)}. 일반적으로 여름철에는 잦은 강우 발생으로 인해 하천 유량이 증가하더라도, 동시에 높은 기온이 유지되기 때문에 수온 상승에 대한 기온의 영향이 크게 작용한다. 반면 겨울철에는 유량이 감소하더라도 기온 값 자체가 낮기 때문에 수온 증가로 이어지는 영향은 제한적이다. 이러한 계절적인 차이와 기후 요인을 고려하여 향후 연구에서는 유량 뿐만 아니라 하천 수온 변동에 기여하는 다른 변수들을 함께 검토해 보는 것이 필요할 것이다.